Electricitatea statica


Forte electrostatice. Legea lui Coulomb


1. Fortele electrostatice actioneaza in perechi

Fortele de atractie sau respingere intre sarcini electrice care se gasesc in repaus sunt numite forte electrostatice. Am vazut ca doua benzi de teflon (sau doua benzi de acetat) se resping intre ele atunci cind sunt incarcate cu sarcini de acelasi tip. Sa facen ca incarcarea electrica a unei benzi sa nu fie la fel de intensa ca a celeilalte benzi (frecind una dintre ele mai mult decit cealalta). Putem verifica daca am realizat acest lucru fixind benzile departe una de alta si apropiind electroscopul electronic, pe rind, de fiecare banda. Le prindem apoi una peste cealalta. Care banda va fi respinsa cu o forta mai mare, cea incarcata mai puternic sau cea incarcata mai slab? Sau fortele vor fi egale chiar daca una este incarcata cu mai multa sarcina electrica?

Pentru a putea compara usor fortele, cele doua benzi trebuie sa fie identice. Atunci, daca una dintre benzi va fi respinsa cu o forta mai mare decit cealalta, ea va devia de la verticala cu un unghi mai mare. Experimentul arata insa ca, oricare ar fi gradul de electrizare al benzilor, ele deviaza identic de la verticala, asa cum se vede in figura de mai jos. Fortele de respingere ce actioneaza asupra celor doua benzi sunt egale intre ele, indiferent daca sarcinile lor sunt sau nu egale.


Aceeasi proprietate o au si fortele de atractie intre doua corpuri incarcate cu sarcini de tip diferit. Fortele electrostatice respecta, astfel, legea a treia a mecanicii lui Newton: doua corpuri interactioneaza intre ele cu forte orientate pe aceeasi directie, avind aceeasi marime dar sensuri opuse.

2. Dependenta de marimea sarcinilor

Am vazut ca marimea fortei electrostatice depinde de fiecare dintre sarcinile q1 si, respectiv q2, cu care sunt incarcate corpurile. Sarcinile se aduna, daca pe corpul 1 dublam sarcina, ne asteptam ca efectul asupra sarcinii q2 sa fie de doua ori mai mare. Forta ar trebui sa fie, deci, proportionala cu sarcina de pe corpul 1. Cum acesta nu are nimic special in raport cu corpul 2, forta trebuie sa fie proportionala si cu sarcina corpului 2. Rezulta, de aici, ca forta este proportionala cu produsul sarcinilor. Aceasta dependenta este sustinuta de constatarile experimentale. In plus, semnul produsului q1.q2 ne spune si sensul in care actioneaza fortele: daca produsul este pozitiv, fortele sunt de respingere iar, daca produsul este negativ, fortele sunt de atractie.

3. Directia fortelor

Fortele electrostatice cu care interactioneaza doua corpuri au aceeasi directie. Care este, insa, aceasta? Experimente facute cu corpuri electrizate care puteau fi aproximate ca fiind punctiforme (de dimensiuni mult mai mici decit distanta dintre ele) au aratat ca fortele actioneaza pe dreapta care uneste corpurile punctiforme.

4. Dependenta de distanta

Pentru ca un corp electrizat sa ridice mici corpuri neutre este necesar ca el sa se apropie suficient de mult de aceste corpuri. La distanta mare, fortele de atractie sunt mici si nu produc efecte vizibile. Daca asezam un corp incarcat electric la diferite distante de electroscopul electronic, indicatia electroscopului scade pe masura ce distanta este mai mare.

 
 

In filmul de mai jos o bila de cauciuc, electrizata prin frecare, este suspendata si oscileaza in fata electroscopului electronic. Astfel, ea se apropie si se departeaza periodic. Electroscopul sesizeaza o sarcina de tip "albastru", indicatia fiind mai mare pe masura ce bila se apropie de el.

Cind corpurile incarcate sunt mult mai mici decit distanta care le separa, fortele electrostatice depind de distanta dupa o lege foarte simpla: marimea fortei este invers proportionala cu patratul distantei. Aceasta inseamna ca daca mariti distanta de doua ori, forta scade de patru ori, ajungind un sfert din cea initiala; la o distanta de 10 ori mai mare, forta devine de 100 de ori mai mica.

Pentru corpurile mult mai mici decit distanta care le separa, dependenta specificata este doar o aproximatie foarte buna. Cind corpurile sunt considerate punctuale (cu dimensiune zero), dependenta este valabila cu exactitate.

5. Legea lui Coulomb

Proprietile fortei electrostatice prezentate mai sus au fost formulate de fizicianul Charles Augustin de Coulomb in 1785, cu mult inainte ca structura atomica sa fie cunoscuta. Legea formulata de el ii poarta azi numele, ca si unitatea de masura pentru sarcina electrica.

Marimea fortei de interactiune electrostatica intre doua sarcini punctiforme este proportionala cu produsul sarcinilor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele. Fortele actioneaza pe directia ce uneste sarcinile si sunt de respingere daca sarcinile au acelasi semn si de atractie daca sarcinile au semne opuse.

(Legea lui Coulomb)

Forta electrostatica poate fi exprimata concis, sub forma matematica, daca definim cu atentie anumite marimi. Vom nota cu vectorul care uneste pozitiile sarcinilor q1 si q2, mergind de la sarcina 1 la sarcina 2, iar cu r12 vom nota modulul acestui vector. Astfel, forta cu care sarcina 1 actioneza asupra sarcinii 2, are expresia

 
 
.
(Ec. 14.1)

(legea lui Coulomb, forma vectoriala)

k este o constanta de proportionalitate, numita constanta Coulomb, iar prima fractie exprima proportionalitatea cu produsul sarcinilor si inversa proportionalitate cu distanta. Ultima fractie este vectorul unitar (versorul) care stabileste directia fortei. In Sistemul International de Unitati (SI), sarcina este masurata in coulombi, distantele sunt masurate in metri, iar fortele in newtoni. Constanta k are valoarea 8,99.109 N.m2/C2. De multe ori preferam sa scriem doar modulul fortei:
.
(Ec. 14.2)

(modulul fortei Coulomb)

Nu orice dependenta in care forta scade cu distanta este coulombiana, adica invers proportionala cu patratul distantei. In applet-ul de mai jos aveti doua exemple de forte; numai una dintre forte este coulombiana. Apasati butonul Start pentru inceperea executiei programului. In centrul patratului, la coordonatele x=0 si y=0 este localizata o sarcina fixa, pozitiva. Sarcina desenata cu rosu este, de asemenea pozitiva si poate fi deplasata in diferite pozitii. Jos, in stinga patratului, apar, de fiecare data, coordonatele sarcinii mobile si modulul fortei electrostatice. Verificati, pentru fiecare dintre cele doua cazuri, daca directia si marimea fortei respecta Legea lui Coulomb.

START

 

 
Appletul este descarcat de la WebPhysics.davidson.edu/Applets/Applets.html

Principiul aparatului folosit de Coulomb pentru studierea fortei electrostatice este explicat in filmul de mai jos. Urmeaza apoi o varianta moderna a experimentului, utilizata in cursul unei lectii la universitatea UCLA, California, SUA.




Acum stim ca fenomenele electrostatice observate in experimentele pe care le-am efectuat sunt consecinta fortelor electrice care actioneaza intre particulele subatomice: protonii se resping intre ei, electronii se resping intre ei, iar protonii si electronii se atrag reciproc. Legea lui Coulomb actioneaza si la scara atomica. De fapt, aceasta lege este valabila pentru o gama enorma de distante, atit in microcosmos (verificata pina la distante de 10-15 m, de ordinul de marime al unui nucleu atomic) cit si in macrocosmos (verificata pina la 108 m).

6. Principiul superpoozitiei

Legea lui Coulomb se refera la doua sarcini punctuale. Ce se intimpla cind o sarcina electrica interactioneaza simultan cu mai multe sarcini? Evident, va fi actionata de mai multe forte, cite una din partea fiecareia. Va trebui sa adunam aceste forte, care sunt vectori. Daca nu va mai amintiti cum se aduna vectorii, rulati simularea ce urmeaza.


Appletul este descarcat de la www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

Doi vectori se pot aduna cu regula paralelogramului, mai multi vectori se pot aduna cu regula poligonului (a triunghiului, in cazul particular a doi vectori). Cea ma generala cale este, insa, proietarea vectorilor pe un sistem de axe si adunarea intre ele a componentelor de pe fiecare axa.

Stim cum sa adunam, nu este clar inca ce trebuie sa adunam. Daca avem doar doua sarcini, forta de interactiune dintre ele este data de legea Coulomb. Modifica prezenta altor sarcini aceasta forta de interactiune? Raspunsul nu poate fi dat decit de experimente. Si acestea i-au condus pe fizicieni la formularea principiului superpozitiei: Cind interactioneaza mai multe sarcini, forta dintre fiecare pereche de sarcini este data de legea Coulomb, ca si cum celelalte sarcini nu ar exista. Puteti intelege mai bine acest principiu fundamental al electromagnetismului folosind simularea de mai jos.


Daca dorim sa calculam forta totala ce actioneaza asupra unei sarcini anumite qA, trebuie sa adunam vectorial fortele produse de fiecare din celelalte sarcini, forte calculate cu legea lui Coulomb:

(Ec. 14.3)

(forta totala asupra unei sarcini electrice, exercitata de un sistem de sercini punctuale)

Sumarea se face peste toate sarcinile, cu exceptia lui qA

Cu legea lui Coulomb si principiul superpozitiei puteti rezolva orice problema de electrostatica, daca sarcinile (si pozitiile lor) sunt specificate. E bine sa incepeti cu cea mai simpla dintre toate: o sarcina pe care putem sa o plasam in diferite pozitii se afla sub actiunea a doua sarcini fixe. Intoarceti-va la appletul cu interactiunea intre trei sarcini.


Asezati sarcinile qa si qb (avind semne identice) la o distanta rezonabila (cam jumatate din dimensiunea spatiului de lucru). Puneti sarcina qc diferita de zero si explorati cu ea intreg spatiul de lucru. Puteti gasi un punct unde forta totala asupra sarcinii qc sa fie nula? Unde este situat acesta? Studiati si cazul particular in care sarcinile qa si qb sunt egale. Formulati o concluzie.

Sa abordam acum problema sistematic. Incepem cu situatia in care toate trei sarcinile au acelasi semn, ca in figura urmatoare. Daca sarcina qc nu se gaseste pe linia dreapta ce uneste primele sarcini (pozitia c1), fortele asupra ei nu vor fi coliniare. Din acest motiv, ele nu se pot anula reciproc si, deci, rezultanta nu poate fi nula. Mai ramine de investigat dreapta ce uneste sarcinile qa si qb. Desi aici fortele sunt coliniare, pentru ca desenul sa poata fi inteles mai usor, ele au fost desenate usor decalate pe verticala.


In stinga acestor sarcini (pozitia c2), ambele forte au acelasi sens si, deci, nu se pot compensa; la fel se intimpla si in dreapta sarcinilor (pozitia c3). Singura regiune unde fortele sunt coliniare si au sensuri opuse este intre sarcinile qa si qb (situatia pozitiei c4). Linga sarcina qa, forta din partea acesteia devine dominanta, linga sarcina qa domina forta din partea cesteia din urma. Undeva, intre sarcini, aceste doua forte se vor echilibra cu siguranta. Fie d distanta intre qa si qb si rac distanta intre qa si qc, (detaliul din partea de jos a figurii). Pentru ca forta totala asupra sarcinii qc sa fie nula, este necesar ca


Cind sarcinile qa si qb sunt egale, solutia ecuatiei este rac=d/2: forta totala este nula la jumatatea distantei intre sarcinile qa si qb. Se poate verifica usor ca, daca sarcinile qa si qb nu sunt egale, pozitia de echilibru este mai aproape de sarcina cu valoarea absoluta mai mica.

Daca sarcina qc isi schimba semnul, fortele din partea celorlalte doua se schimba din forte de respingere in forte de atractie. Intreaga discutie de mai sus ramine valabila, iar pozitia in care forta asupra lui qc este nula este identica cu cea de mai sus. Situatia se modifica atunci cind cele doua sarcini qa si qb au semne diferite intre ele (figura de mai jos).


De data aceasta, fortele se pot anula reciproc fie in stinga (pozitia c2), fie in dreapta sarcinilor qa si qb (pozitia c3). Daca qb este, in valoare absoluta, mai mare decit qa, anularea fortei totale are loc in stinga (desenul din josul figurii). Punind conditia ca cele doua forte sa aiba modulele egale, rezulta


Pozitia in care forta totala este zero se gaseste in afara sarcinilor qa si qb, in partea sarcinii care are valoarea absoluta mai mica. Asa cum se vede din ecuatia precedenta, cind cele doua sarcini au module egale, problema nu are solutie.

Metodele grafice de adunare a fortelor sunt utile cind avem doar doua forte sau geometria problemei este foarte particulara. Exista, insa, o metoda generala, care functioneaza intodeauna. Ecuatia 14.3 este una vectoriala. Aceasta inseamna ca ea poate fi proiectata pe orice axa. In particular, este util sa proiectam ecuatia pe axele sistemului de coordonate. Membrul sting al ecuatiei devine egal cu proiectiile fortei totale pe axe. Daca punctul A, unde calculam cimpul, are coordonatele {xA; yA; zA} iar sarcina m se afla la coordonatele {xm; ym; zm}, distanta intre aceste doua puncte se calculeaza cu teorema lui Pitagora

(Ec. 14.4)

(distanta intre pozitiile A si m, in functie de coordonatele pozitiilor)


Puteti sa va convingeti de acest lucru privind figura de mai jos, unde, pentru simplitate, am reprezentat doar doua coordonate.


Pe acelasi desen se poate observa ca proiectiile vectorului ce merge de la sarcina m la punctul A sunt, simplu, egale cu diferentele (xA-xm) si, respectiv, (yA-ym). Astfel, proiectiile fortei au expresiile

(Ec. 14.5)

(proiectiile fortei totale asupra sarcinii qa)

Sumarea se face peste toate sarcinile, cu exceptia lui qA. Ecuatiile 14.4 si 14.5 ofera reteta generala pentru calculul fortei totale asupra sarcinii qA. Nu trebuie decit sa introduceti valorile sarcinilor si coordonatele pozitiilor la care se afla acestea. In final, modulul fortei se obtine din cele trei proiectii folosind teorema lui Pitagora

Sa aplicam metoda de mai sus la calculul fortei totale asupra sarcinii qA din figura de mai jos.


Toate cele trei distante sunt egale cu 10 cm. Pe axa x avem xA-x1=10 cm, xA-x2=10 cm si xA-x3=0 cm, iar pe axa y avem yA-y1=0 cm, yA-y2=10 cm si yA-y3=10 cm. Cu acestea, obtinem proiectiile fortei totale


Modulul fortei poate fi calculat din teorema Pitagora si rezulta egal cu 6,5.10-6 N. Dupa putina trigonometrie ajungem si la unghiul pe care forta il face cu axa x, acesta este arctan(3,6/5,4)=33,7o.

  Verifica ce ai inteles 

Echilibrul este stabil daca, la o mica deplasare a corpului din acea pozitie, apare o forta neta de revenire in pozitia de echilibru. Am gasit anterior pozitia de echilibru a unei sarcini electrice qc sub actiunea sarcinilor qa si qb. Alegeti cazul in care toate sarcinile au acelasi semn si incercati sa aflati daca acest echilibru este unul stabil. Deplasati sarcina qc mai intii pe dreapta ce uneste qa si qb. Apoi, deplasati pe qc din pozitia de echilibru, parasind dreapta respectiva. Formulati o concluzie.

Calculati, pentru sistemul de sarcini din figura urmatoare, proiectiile pe axele de coordonate ale fortei totale exercitate asupra sarcinii qA.

Unde ar fi mai bine sa deplasati axele de coordonate pentru ca sa puteti efectua mai usor calculele din problema precedenta?

Si acum, la joaca! Ce ziceti de un hochei electric? Lansati aplicatia de mai jos si pozitionati sarcinile in asa fel incit pucul sa intre in poarta. Aveti la dispozitie patru niveluri de dificultate, unul fiind pentru antrenament. Succes!