Electricitatea statica

Potentialul electric. Definitie si proprietati

1. Energia potentiala gravitationala

Cind o bila coboara de la un punct A la un alt punct B, cimpul gravitational al Pamintului efectueaza un lucru mecanic asupra ei. Acest lucru mecanic se poate regasi, de exemplu, in cresterea energiei sale cinetice. Pentru a duce bila inapoi in punctul A, trebuie efectuat, de catre un agent extern cimpului, un lucru mecanic egal cu cel primit de la cimp in timpul coboririi.

Pentru cimpul gravitational, marimea lucrului mecanic nu depinde de drum, ci doar de inaltimile la care se afla acele puncte. Daca nu ar fi asa, am putea urca bila pe un drum cu lucru mecanic mic si am aduce-o jos pe un drum cu lucru mecanic mare, ca in figura de mai sus. Dupa fiecare proces urcare-coborire sistemul bila-cimp revine in aceeasi stare dar noi cistigam de fiecare data, gratuit, o portie de energie. Asa ceva, insa, nu este posibil, energia se conserva. Din acest motiv, un asemenea cimp, in care lucrul mecanic efectuat de cimp intre doua puncte oarecare nu depinde drum, este numit cimp conservativ.

Pentru un cimp conservativ (numai pentru un cimp conservativ!), putem defini energia potentiala a unui corp supus influentei sale. Aceasta este determinata de pozitia sa in cimp.

Cind cimpul efectueaza lucru mecanic (ca atunci cind mingea coboara), energia potentiala scade. Pentru cresterea energiei potentiale la valoarea initiala, trebuie ca agentul extern sa efectueze lucru mecanic de aceeasi marime impotriva fortei produsa de cimp. In definirea energiei potentiale e nevoie de alegerea unui punct de referinta, R, in care energia potentiala este considerata zero. Putem alege, de exemplu, punctul de referinta la nivelul marii, acolo unde altitudinea este considerata zero.

Energia potentiala W_M in punctul M este egala este egala cu lucrul mecanic efectuat de cimp la deplasarea corpului din punctul M in punctul de energie potentiala zero.

Putem exprima energia potentiala in punctul M si in alt fel: lucrul mecanic pe care trebuie sa-l faca un agent extern, impotriva fortelor cimpului, pentru aduce corpul in punctul M, pornind de punctul de referinta. De exemplu, energia potentiala la inaltimea de 100 m este lucrul mecanic pe care trebuie sa-l efectuati voi ca sa urcati corpul acolo, pornind de la nivelul marii. Pentru a tine minte usor definitia, trebuie sa retineti ca pentru a creste energia potentiala trebuie sa efectuati lucru mecanic din exterior.

Sa exprimam acum variatia (cresterea) de energie potentiala la deplasarea din A in B. Aceasta este egala cu lucrul mecanic efectuat din exterior

(Ec. 16.1)

Cel mai adesea, insa, trebuie sa exprimam acest lucru mecanic in legatura directa cu cimpul

(Ec. 16.2)

2. Energia potentiala a unei sarcini electrice aflata intr-un cimp electrostatic

Dupa reamintirea modului in care este definita energia potentiala gravitationala, ne intoarcem la electrostatica. Am vazut ca o sarcina electrica situata intr-un cimp electric este actionata de o forta care este produsul dintre sarcina respectiva si cimpul electric din acel punct. Cind sarcina se deplaseaza, aceasta forta efectueaza lucru mecanic. Sa presupunem ca exista o sarcina punctuala fixa ce produce cimpul si sa aducem in apropiere o sarcina de test q₀. Consideram, mai intii, ca sarcina de test se deplaseaza intre punctele 1 si 2 pe o traiectorie cu totul speciala (desenata cu albastru): mai intii pe directia razei, intre punctele 1 si 2', si apoi pe un segment de cerc intre punctele 2' si 2.

Cit este lucrul mecanic efectuat de cimp? Observam ca, pe portiunea circulara a drumului, forta (desenata cu rosu) asupra sarcinii de test este, in orice punct, perpendiculara pe traiectorie. Rezulta, astfel, ca lucrul mecanic este nul pe aceasta portiune si putem scrie ca L_1-2=L_1-2'. Alegem, apoi, un alt drum (desenat cu verde): mai intii deplasam sarcina pe cerc pina in 1' si apoi pe directia razei. Din considerente similare, L_1-2=L_1'-2. Dar cimpul produs de sarcina punctuala are simetrie sferica, lucrul mecanic L_1-2' este exact lucrul mecanic L_1'-2. Am deplasat sarcina de proba din punctul 1 in punctul 2 pe doua drumuri diferite si lucrul mecanic efectuat de cimp a fost acelasi: cel efectuat la o deplasare radiala intre r₁ si r₂. Sa notam aceasta valoare cu L_radial

Alegem acum un drum complet arbitrar, desenat cu negru in figura de mai sus. Incercam sa-l aproximam printr-o succesiune de portiuni radiale alternate cu portiuni circulare (drumul desenat cu albastru). Pe toate portiunile circulare lucrul mecanic este nul. Pentru a calcula lucrul mecanic efectuat de cimp la deplasarea sarcinii de test din 1 in 2 nu trebuie decit sa insumam contributiile portiunilor radiale. Deoarece cimpul are simetrie sferica, nu conteaza pe ce directie este o asemenea portiune, impreuna dau un lucru mecanic egal cu cel la deplasarea desenata cu albastru deschis, adica L_radial. Veti spune ca aproximatia este grosolana, exista mari diferente intre drumul negru si drumul albastru. Asa este, dar putem sa luam segmente, radiale si circulare, din ce in ce mai multe si mai mici. Ne putem apropia oricit de mult dorim de drumul arbitrar desenat cu negru. Si, intodeauna, lucrul mecanic va fi exact L_radial. Concluzia este ca lucrul mecanic efectuat de cimp intre doua puncte nu depinde de drum. Daca drumul este unul inchis (ne intoarcem de unde am plecat), lucrul mecanic este nul. Pentru orice drum parcurs invers, lucrul mecanic la intoarcere este cel de la ducere, dar cu semn schimbat, L_BA=-L_AB.

Demonstratia anterioara a fost facuta in cazul cimpului creat de o singura sarcina punctuala. Principiul superpozitiei ne garanteaza, insa, ca rezultatele sunt valabile pentru un cimp produs de orice distributie de sarcina. Lucrul mecanic efectuat de cimp la deplasarea unei sarcini electrice intre oricare doua puncte nu depinde de drum. Este subinteles faptul ca, in timpul deplasarii sarcinii de test, distributia de sarcina care produce cimpul nu se modifica.

Cimpul electric este, deci, un cimp conservativ, ca si cel gravitational. Pentru cimpurile conservative se poate defini energia potentiala. Pentru aceasta trebuie sa alegem o configuratie de referinta, in care energia potentiala este zero prin definitie. In electrostatica pozitia de referinta aleasa este, de cele mai multe ori, aceea in care sarcina de test este departata la infinit. Astfel, energia potentiala intr-un punct M este egala cu lucrul mecanic efectuat de cimpul electric pentru a duce, de aici la infinit, sarcina de test. Echivalent, aceasta energie potentiala este egala cu lucrul mecanic ce trebuie cheltuit din exterior pentru a duce sarcina de test, impotriva cimpului, de la infinit in punctul respectiv. Fiecarui punct ii corespunde, astfel, o energie potentiala bine definita. La deplasarea intre punctela A si B, variatia energiei potentiale este aceea data de ecuatiile 16.1 si 16.2. Trebuie accentuat ca alegerea unei alte configuratii de referinta adauga aceeasi constanta la energia potentiala in fiecare punct din spatiu; in consecinta, diferenta de energie potentiala intre oricare doua puncte ramine neschimbata.

3. Potentialul electric

Forta exercitata de cimp asupra sarcinii de test este proportionala cu aceasta si, deci, si energia potentiala definita mai sus este proportionala cu sarcina de test. Daca dorim sa caracterizam doar cimpul, nu avem decit sa impartim energia potentiala a sarcinii la marimea sarcinii respective. Marimea obtinuta astfel este numita potential electric al cimpului si o vom nota, in general, cu litera V. Cum dependenta de sarcina de test a disparut, restrictia ca ea sa fie pozitiva a avut doar rolul de a simplifica rationamentul.

Potentialul electric este energia potentiala a sarcinii unitate (lucrul mecanic efectuat din exterior pentru a aduce sarcina unitate de la infinit in punctul respectv).

Potentialul electric este o marime scalara . El se noteaza, de obicei, cu litera V si se masoara in volti. Un volt (prescurtat V) este egal cu 1 J/C. Din relatia precedenta, rezulta ca putem exprima variatia de potential la deplasarea din A in B prin

(Ec. 16.3)

Alegerea unei alte pozitii de referinta (in care potentialul este considerat nul) modifica potentialele tuturor punctelor din spatiu dar modificarea este una foarte simpla: la potentialul fiecarei pozitii se adauga aceeasi cantitate. Din aceasta cauza, diferentele de potential sunt invariante la schimbarea punctului de referinta pentru potential.

4. Reprezentarea grafica a potentialului electric

Temperatura aerului, are, la un anumit moment, in fiecare loc, o valoare bine determinata. Preferam, insa, adesea, sa privim nu o colectie de numere ci o reprezentare mai expresiva, cum este harta termica de mai jos.

Aici, temperatura este codificata prin culoare. Putem, astfel, sa identificam rapid regiunile mai reci (cele din Scandinavia) si zonele unde temperatura variaza rapid cu pozitia, asa cum este cea din nordul Africii.
Aceeasi metoda poate fi aplicata si pentru reprezentarea potentialului electric in cuprinsul unui plan. Pentru doua sarcini pozitive si doua sarcini negative (egale in marime absoluta), situate in acelasi plan, harta potentialului in planul in care se gasesc sarcinile arata ca cea din figura urmatoare. Potentialele pozitive au fost reprezentate cu rosu iar cele negative cu albastru, intensitatea culorii fiind legata de modulul potentialului respectiv.

Un mod inca si mai sugestiv de reprezentare a potentialului electric este acela "prin inaltimi", ca in figurile alaturate. Planul orizontal este planul in care urmarim valorile potentialului ales aici ca fiind planul in care se gasesc sarcinile ce produc cimpul. Pe axa verticala a desenului sunt reprezentate valorile potentialului in diferitele puncte de coordonate x si y. Prima figura reprezinta potentialul creat de o sarcina punctuala pozitiva. In acest caz, cimpul este radial si orientat, in orice, punct, inspre exterior. Pentru a aduce o sarcina pozitiva de la infinit, trebuie sa efectuam lucru mecanic impotriva acestei forte a cimpului. De aceea, potentialul acestui cimp este pozitiv pentru orice punct al sau. Cu cit punctul este mai apropiat de sursa cimpului, lucrul mecanic necesar este mai mare si, deci, potentialul este mai ridicat.

Daca, insa, sarcina ce produce cimpul este negativa, fortele asupra sarcinii de test pozitive sunt indreptate catre sursa cimpului. Potentialul cimpului este negativ in orice punct. Reprezentarea tridimensionala arata ca o "groapa" de potential (figura din dreapta). O sarcina de test pozitiva ar fi atrasa in groapa, pentru ca acolo energia potentiala este mai mica.

Cel mai util mod de reprezentare este, insa, trasarea unor suprafete pe care potentialul ramine constant, numite suprafete echipotentiale. Acestea se reduc la niste curbe inchise atunci cind reprezentam doar un plan, o "felie" subtire din spatiul real.

In figura de mai sus, potentialul creat de o sarcina pozitiva impreuna cu una negativa este figurat utilizind simultan toate cele trei moduri de reprezentare: prin culori, prin inaltimi si prin echipotentiale. Sarcina pozitiva din stinga produce un "munte" de potential. Lasata libera in acest cimp, o sarcina pozitiva este actionata de fortele cimpului spre periferie, acolo unde energia potentiala este mai mica. Sarcina negativa din dreapta produce o "groapa" de potential in care este atrasa sarcina de test pozitiva.

Descarcati si lansati aplicatia de mai jos.

Dezactivati toate optiunile din meniul din dreapta, mai putin afisarea potentialului cu rezolutie mare (Arata V rez mare) si afisarea valorilor potentialului (Arata numere). Alegeti o sarcina pozitiva din containerul ce se afla in coltul din dreapta sus (apasind butonul din stinga al mouse-ului) si trageti-o in spatiul de lucru din stinga. Prin acelasi procedeu puteti sa aduceti si sarcini din containerul cu sarcini negative. Ulterior, pozitiile lor pot fi modificate prin agatare cu mouse-ul. Potentialul este reprezentat, aproape instantaneu, prin culori. Deplasind voltmetrul, puteti citi valoarea potentialului in punctul aratat de vizorul cu cruce. Daca apasati butonul "grafic" de pe voltmetru, va aparea curba echipotentiala ce trece prin acel punct si, linga ea, valoarea potentialului.

Folosind o simulare, puteti investiga cum arata potentialul produs de diferite configuratii de sarcini (situate intr-un singur plan).
Apasati aici si aplicatia va fi lansata automat dintr-o pagina separata. Cind terminati, nu uitati sa inchideti si aplicatia si pagina respectiva

5. Relatia intre cimp si potential

La deplasarea sarcinii de test pe o suprafata echipotentiala (pe linia galbena din figura de mai jos), energia sa nu se schimba, deci lucrul mecanic este nul. Cu toate acestea, in fiecare punct actioneaza asupra sarcinii o forta proportionala cu vectorul cimp electric. Cum se pot impaca aceste doua afirmatii? Intr-un singur fel, daca vectorul cimp electric este perpendicular pe suprafata echipotentiala in orice punct al acesteia.

In acest mod, forta este intodeauna perpendiculare pe deplasare (segmentul de linie neagra, in figura)si nu efectueaza lucru mecanic. Mai jos aveti desenate portiuni din doua suprafete echipotentiale, impreuna cu vectorii de cimp in diferite puncte pe suprafete.



Daca ati lucrat cu atentie la simularea anterioara, ati constatat ca orientarea vectorilor de cimp era perpendiculara pe curbele ce reprezentau echipotentialele; asa se vede cind privim doar o felie din spatiul real. In desenul urmator, sunt prezentate curbele echipotentiale (linie intrerupta oranj) si liniile de cimp (linie continua albastra) pentru doua sarcini egale in modul si opuse ca semn. Reprezentarea este facuta in planul ce contine sacinile.

Am vazut ca intr-un punct ales arbitrar pe o suprafata echipotentiala, vectorul cimp electric este perpendicular pe acea suprafata. Putem sa spunem ceva si despre sensul cimpului? Sa privim figura urmatoare, unde sunt notate si valorile potentialului de pe curbele echipotentiale desenate. In stinga avem doua sarcini pozitive iar in dreapta avem o pereche de sarcini egale in modul si opuse ca semn. Peste tot, liniile de cimp sunt orientate de la potential mai mare la potential mai mic. Acest lucru este usor de inteles: fortele cimpului sunt orientate intodeauna astfel incit sa micsoreze energia potentiala.

Cimpul electric este orientat, in orice punct, de la potential mare la potential mic, perpendicular pe suprafata echipotentiala ce trece prin acel punct.

Mai mult, putem sa calculam si valoarea aproximativa a intensitatii cimpului intre doua suprafete echipotentiale apropiate intre ele. Deplasam sarcina de test, pe directia cimpului, adica perpendicular pe suprafete. Daca notam cu d distanta intre suprafete, lucrul mecanic efectuat de cimp este, in modul, q.E.d. Pentru a obtine diferenta de potential nu avem decit sa impartim la valoarea sarcinii de test. In modul, aceasta este E.d, de unde rezulta imediat intensitatea cimpului E=diferenta de potential (in modul) impartita la d.

Intre doua suprafete echipotentiale apropiate, intensitatea cimpului este, cu aproximatie, modulul diferentei de potential impartit la distanta ce separa suprafetele.

Cu cit suprafetele sunt mai apropiate si, in consecinta, diferenta de potential este mai mica, cu atit intensitatea cimpului calculata prin procedeul anterior este mai apropiata de cea adevarata.

Cel mai adesea, suprafetele echipotentiale sunt reprezentate astfel incit intre potentialul sa se modifice de la o suprafata echipotentiala la suprafata imediat urmatoare cu aceeasi cantitate. De exemplu, in figura alaturata, potentialul variaza cu 0,5 V de la o suprafata echipotentiala la alta. Cum aceasta variatie este egala cu produsul dintre intensitatea cimpului si distanta dintre suprafete, suprafetele echipotentiale sunt mai dese acolo unde cimpul este mai intens, adica in apropierea sarcinii punctuale care il produce.

In rationamentul anterior am deplasat sarcina de test pe directia cimpului. Sa presupunem ca nu cunoastem aceasta directie si efectuam o mica deplasare Δl de-a lungul unei directii arbitrare notate cu u. Variatia de potential (potentialul final minus cel initial) este, conform ecuatiei 16.3,

Cum deplasarea e mica, putem considera cimpul ca fiind constant. Astfel, lucrul mecanic efectuat de cimp se obtine inmultind deplasarea cu proiectia, pe directia de deplasare, a fortei electrice asupra sarcinii de test


Aici, atit proiectia cimpului electric pe directia aleasa cit si deplasarea sunt marimi scalare cu semne algebrice. Din ultimele doua ecuatii rezulta imediat marimea proiectiei cimpului electric pe o directie arbitrara u

(Ec. 16.4)

Ecuatia precedenta ne spune un lucru extrem de simplu si de important:

Proiectia vectorului cimp electric pe o directie oarecare este egala cu rata de variatie a potentialului pe directia respectiva, luata cu semn schimbat.

Potentialul variaza cel mai rapid cu distanta exact pe directia cimpului electric si ramine constant daca deplasarea este perpendiculara pe cimp.

Exista o similitudine intre potentialul si cimpul electric pe de o parte, si altitudinea si panta drumului in cazul unei forme de relief (figura de mai sus). Dealul trebuie reprezentat pe o harta, in plan (asa cum se vede el privit de la mare inaltime). Pe harta din dreapta lui sunt trasate, cu albastru, curbe de nivel constant (care unesc puncte ce au aceeasi altitudine). Daca vreti sa coboriti de pe o curba de nivel pe urmatoarea, puteti alege drumul cel mai scurt, notat cu a, care este perpendicular pe aceste curbe. Panta drumului este diferenta de nivel intre curbe impartita la distanta intre ele. Dar puteti alege si un drum b, care face un unghi cu normala la curba de nivel. Pentru ca drumul este mai lung si coboriti aceeasi inaltime, panta este acum mai mica. Liniile de panta maxima (desenate cu rosu) coboara perpendicular pe curbele de nivel. In partea de jos a figurii aveti reprezentarea (conventionala) a potentialului produs de sarcina punctuala. Desenul din stinga reprezinta potentialul prin "inaltime" pe axa verticala iar cel din dreapta este o reprezentare plana. Curbele echipotentiale sunt desenate cu albastru iar liniile de cimp sunt desenate cu rosu.

Cunoasterea unui cimp electric inseamna cunoasterea vectorului sau in orice punct al spatiului. In orice punct avem insa, si o alta marime: potentialul electric. Putem calcula vectorul cimp electric numai din valorile potentialului? O varianta ar fi sa incercam toate directiile si sa o gasim pe aceea pe care potentialul variaza cel mai rapid cu pozitia. Dar nu este obligatoriu sa facem asa. Stim ca vectorul cimp electric este perfect determinat de componentele sale pe cele trei axe de coordonate din spatiu. Trebuie sa calculam ratele de variatie ale potentialului doar pe directiile axelor de coordonate:

(Ec. 16.5)

Cu cit variatiile considerate sunt mai mici, cu atit rezultatul este mai apropiat de valoarea adevarata a cimpul electric. Astfel, putem sa calculam vectorul cimp electric in orice punct dorim, folosind numai valorile potentialului dintr-o mica vecinatate a punctului respectiv. Luind in consideratie ca potentialul este o marime scalara, aceasta reprezinta o simplificare majora in descrierea cimpului electric.

Pe de alta parte, potentialul electric al unui punct nu depinde doar de cimpul electric din vecinatatea sa. Valoarea potentialului este legata de cimpul electric in tot spatiul, de la punctul respectiv la punctul de referinta. Daca dorim sa calculam variatia de potential intre doua puncte, suficient de apropiate astfel incit sa putem considera ca in acea regiune limitata cimpul este uniform, nu avem decit sa inversam rationamentul care ne-a condus la ecuatia 16.5. Parcurgem drumul, in linie dreapta, intre punctele A si B si scriem lucrul mecanic ca fiind produsul scalar intre forta si deplasare. Rezulta imediat ca

(Ec. 16.6)

Pentru cimpuri uniforme, cresterea potentialului este produsul scalar intre vectorul cimpul electric si vectorul deplasare, luat cu semn schimbat.
Cind cimpul nu este uniform, relatia este valabila, cu aproximatie, doar pentru deplasari suficient de mici.