Electricitatea statica

Dielectrici in cimp electric

Cind am studiat conductoarele in cimp electric, am spus ca acestea se polarizeaza complet. Deoarece fortele cimpului electric asupra electronilor liberi nu pot fi echilibrate decit pe suprafata, de catre forte ne-electrostatice care ii impiedica sa iasa din metal, acestia se deplaseaza pina cind cimpul electric este anulat in orice punct din interior. Astfel, densitatea de sarcina electrica este nula in orice punct al conductorului, cu exceptia suprafetei.

In izolatoare nu exista purtatori de sarcina liberi si, ca urmare, aceste substante nu permit "curgerea" sarcinii electrice. Am putea crede, astfel, ca izolatoarele nu interactioneaza cu un cimp electric extern. Experimentele au aratat, insa, ca introducerea unui astfel de material intre armaturile unui condensator incarcat micsoreaza diferenta de potential dintre armaturi, desi sarcina de pe armaturi ramine nemodificata. Concluzia este ca intensitatea cimpului electric in acea regiunea a fost diminuata de catre materialul respectiv. Pentru a identifica efectele produse de interactia dintre izolatoare si cimpul electric, fizicienii folosesc cuvintul "dielectric". Substantele fara purtatori de sarcina liberi sunt numite fie izolatoare, fie dielectrice, dupa aspectul care ne intereseaza si aplicatia in care sunt implicate. Dielectric este, deci, un alt nume pentru un izolator, atunci cind suntem interesati de interactia acestuia cu cimpul electric.

Desi nu gaseste purtatori de sarcina liberi care sa se ingramadeasca la suprafata corpului, un cimp extern aplicat unui dielectric poate modifica pozitia si forma moleculelor (sau atomilor). Sa luam, mai intii, cazul unui lichid cu molecule polare, cum este apa. Desi este neutra, fiecare molecula de apa este un mic dipol, centrul sarcinii pozitive nefiind identic cu cel al sarcinii pozitive (figura alaturata). Momentul dipolar al unei molecule de apa este 6,3.10-30 C.m. In absenta unor cimpuri electrice externe, datorita agitatiei termice, acesti dipoli sunt orientati complet la intimplare, cum se vede in desenul a) figurii de mai de jos.

Cind un dipol se gaseste intr-un cimp electric (figura alaturata), asupra celor doua sarcini apar forte cu sensuri opuse, formindu-se un cuplu de forte care roteste dipolul astfel incit sa-l alinieze paralel cu cimpul electric. In cazul lichidului cu molecule polare plasat intr-un cimp electric (desenul b al figurii de mai sus), acest efect de aliniere este in competitie cu agitatia termica ce distruge asezarea ordonata. Rezultatul este o aliniere partiala. Cu cit cimpul este mai puternic, cu atit alinierea este mai accentuata si polarizarea este mai mare.

Pentru a caracteriza o regiune foarte mica, dar inca macroscopica (ce contine milioane de molecule), adunam vectorial toate momentele dipolare din acea regiune si impartim apoi la volumul regiunii. Definim, in acest mod, o marime

(Ec. 20.1)

numita densitate de polarizare sau, simplu, polarizare. Aceasta se masoara in C/m².

Exemplu numeric.Un metru cub de apa are masa de 1000 kg si contine 55,6 kmol. Inmultind cu numarul lui Avogadro, obtinem o concentratie de 3,3^.10²⁸ molecule pe metru cub. Cum momentul dipolar al unei molecule de apa este 6,3^.10^-30 C^.m, daca toti dipolii moleculari ar fi perfect aliniati, polarizarea apei ar avea valoarea de 0,2 C/m².

In general, vectorul densitate de polarizare variaza de la punct la punct in interiorul dielectricului; pentru situatii particulare, insa, polarizarea poate fi uniforma. In absenta unui cimp electric extern, polarizarea apei era nula, datorita orientarii haotice a dipolilor. Aplicarea unui cimp electric din exterior produce o polarizare diferita de zero, pe directia cimpului, polarizarea crescind cu marirea intensitatii cimpului. Considerind un moment dipolar mediu per molecula p=q^.a si notind cu n densitatea de molecule (numarul de molecule din unitatea de volum), polarizarea dielectricului poate fi scrisa ca

(Ec. 20.2)

Nu numai substantele cu molecule polare interactioneaza cu cimpul electric. Pentru substantele nepolare, efectul este deformarea norului electronic si aparitia unu dipol indus. In figura de mai jos, cimpul electric, orientat spre dreapta, provoaca o mica alungire spre stinga a norului electronic negativ.

Centrul sarcinilor negative nu mai coincide cu centrul sarcinilor pozitive aparind, astfel, un dipol cu momentul orientat identic cu cimpul electric. Cu cit cimpul este mai intens, cu atit momentul dipolului indus e mai mare. Este ca si cum doua sarcini egale in modul si opuse ca semn sunt legate printr-un resort elestic iar fortele din partea cimpului intind resortul, marind momentul dipolar.


Ca si la substantele polare, apare o densitate de polarizare diferita de zero, dar de modul mult mai mic.

Indiferent de mecanismul prin care se produce polarizarea dielectricului, pentru cimpuri de intensitati nu prea mari, densitatea de polarizare este proportionala cu cimpul electric net din dielectric.

(Ec. 20.3)

Marimea notata cu χ (litera greceasca, pronuntata chi, din care a aparut litera latina X) este numita susceptibilitate electrica si este un numar adimensional. Ea arata cit de usor este polarizat un dielectric sub actiunea unui cimp electric. Relatia de mai sus este valabila pentru gaze, lichide si solidele izotrope. In cazul cristalelor care nu prezinta aceleasi proprietati pe orice directie, relatia este mai complicata deoarece vectorul polarizare nu mai are, in general, directia cimpului electric. Pentru aer si alte gaze, susceptibilitatea electrica este foarte mica, avind o valoare de aproximativ 5 miimi. Lichidele cu molecule polare au susceptibilitati foarte mari, apa in jur de 80, alcoolul etilic in jur de 30.

Cind am discutat despre condensatoare, am considerat ca intre armaturi este vid (sau aer, care nu afecteaza semnficativ capacitatea). Astfel de condensatoare sunt extrem de rar utilizate, cel mai frecvent intre armaturi fiind intercalat un dielectric, care determina performantele condensatorului. Prezenta dielectricului face ca valoarea capacitatii sa fie mult mai mare decit a unui condensator cu vid iar tensiunea la care apare strapungerea sa fie si ea mai ridicata.
Sa luam un condensator plan care are densitatea de sarcina pe armaturi +σ_liber si -σ_liber si, corespunzator, un cimp uniform intre armaturi de intensitate E₀=σ_liber/ε₀ (desenul de mai jos). Introducem, apoi, un dielectric intre armaturi, astfel incit sa umple aproape complet acel spatiu. Cimpul electric face ca dielectricul sa se polarizeze uniform, cu densitatea de polarizare P. Polarizarea fiind uniforma, in interiorul dielectricului nu apare sarcina neta dar la capete sarcinile dipolilor ramin necompensate. Astfel, pe suprafetele dielectricului paralele cu armaturile apar distributii de sarcina neta. Spre deosebire de sarcinile de la suprafata conductoarelor, sarcina aparuta datorita polarizarii este una "legata", purtatorii respectivi neputind parasi atomii sau moleculele din care fac parte.

Densitatea superficiala a sarcinii de polarizare poate fi calculata daca observam ca sarcina necompensata de la capete apare in volumul S^.a, unde S este aria unei armaturi iar a este distanta medie dintre sarcinile dipolilor. Pentru a afla sarcina trebuie sa inmultim acest volum cu densitatea de molecule n (numarul de molecule din unitatea de volum) si cu sarcina unui dipol, obtinind n^.q^.S^.a. Rezulta, in final, densitatea de sarcina indusa pe fetele dielectricului datorita polarizarii


Dar produsul dintre numarul de molecule din unitatea de volum si momentul dipolar mediu al unei molecule este tocmai densitatea de polarizare. Astfel, densitatea superficiala de sarcina indusa prin polarizare pe fetele dielectricului este egala cu densitatea de polarizare.

(Ec. 20.4)

Daca dorim sa obtinem si semnul sarcinii de polarizare, trebuie sa luam in consideratie versorul u normal la suprafata (orientat inspre exteriorul dielectricului)

(Ec. 20.5)

Desi a fost dedusa pentru cazul particular al unei polarizari uniforme, ecuatia de mai sus are valabilitate generala.
Sarcinile nete de polarizare determina aparitia unui cimp electric suplimentar in dielectric, care are sens opus celui produs de sarcinile libere de pe armaturile condensatorului (figura de mai jos).


Intensitatea cimpului produs de sarcinile de polarizare se calculeaza ca la condensatorul plan, rezultind


Efectul acestui cimp este micsorarea cimpului total in dielectric, care este acum

Amintindu-ne ca polarizarea P este determinata de cimpul total si nu doar de cimpul extern, sa urmarim ce se intimpla intr-un timpul extrem de scurt, la aplicarea cimpului extern. Initial polarizarea este zero si dielectricul este intr-un cimp intens, produs de sarcinile libere de pe armaturile condensatorului. Acesta produce polarizarea dielectricului iar polarizarea este cauza unui cimp suplimentar, de sens opus, care micsoreaza cimpul total din dielectric. Pe masura ce polarizarea se accentueaza, cimpul total devine tot mai mic si, la un moment dat, se stabileste echilibrul: cimpul total a ajuns exact la valoarea necesara pentru mentinerea grdaului corespunzator de polarizare. Cele doua ecuatii sunt

de unde rezulta

(Ec. 20.6)

Deoarece susceptibilitatea este intodeauna pozitiva, cimpul in dielectric este mai mic decit cimpul produs de sarcinile de pe armaturi. Pentru a caracteriza acest efect de diminuare a cimpului se foloseste marimea

(Ec. 20.7)

numita constanta dielectrica sau permitivitate relativa a substantei respective. Aceasta ne spune de cite ori a fost micsorat cimpul in interiorul dielectricului, datorita polarizarii.

(Ec. 20.8)

Permitivitatea relativa a vidului este egala cu 1. Micsorarea cimpului de ε_r produce micsorarea, de acelasi numar de ori, a tensiunii pe condensator, in conditiile in care marimea sarcinilor de pe armaturile metalice nu s-a modificat. Astfel, capacitatea condensatorului (definita ca raportul intre sarcina si tensiune) a crescut de ε_r ori, fiind acum

(Ec. 20.9)

Produsul ε₀ε_r este numit permitivitatea absoluta a dielectricului

(Ec. 20.10)

si el inlocuieste, in formula de mai sus, permitivitatea vidului. La prezentarea condensatoarelor de diferite forme am accentuat, de fiecare data, ca, daca distanta intre armaturi este mult mai mica decit dimensiunile armaturilor, cimpul electric in exteriorul condensatorului este practic nul. Este suficient, deci, sa umplem spatiul dintre armaturi cu un dielectric si capacitatea sa devine de ε_r ori mai mare decit aceea a condensatorului cu aer (sau vid). In aceasta situatie, in formulele deduse pentru capacitatea condensatoarelor sferic, cilindric si plan, trebuie sa inlocuim permitivitatea vidului ε₀ cu permitivitatea absoluta a dielectricului.

Exemplu numeric.Intr-un condensator plan cu aer, cimpul electric E₀ este la limita de strapungere a aerului, adica 3^.10⁶ V/m. Intre armaturi se introduce apoi apa (considerata un izolator perfect). Deoarece constanta dielectrica a apei este de aproximativ 80, cimpul electric este micsorat cu acest factor. Densitatea superficiala a sarcinii de polarizare este (80-1)/80 inmultit cu densitatea superficiala a sarcinii libere E₀^.ε₀. Rezulta o densitate superficiala a sarcinii de polarizare de 26^.10^-6 C/m², care este chiar valoarea densitatii de polarizare. Aceasta este de aproape 8000 de ori mai mica decit valoarea polarizarii apei in care toti dipolii ar fi aliniati. Avem acum o idee despre gradul de aliniere a acestor dipoli.

Daca tot spatiul ar fi umplut cu un dielectric cu constanta ε_r, atunci in toate formulele din electrostatica permitivitatea vidului trebuie inlocuita cu ε₀ε_r. Dielectricul ar micsora, astfel, toate cimpurile electrice de ε_r ori. Acest lucru nu este, insa, valabil daca numai o regiune este umpluta cu dielectric. Pentru a scoate acest lucru in evidenta, sa rezolvam urmatoarea problema.

Un condensator plan, cu aer intre armaturi, produce in interior un cimp cu intensitatea E₀. Apoi, intre armaturile sale se introduce un dielectric cu constanta dielectrica ε_r, care ocupa doar jumatate din suprafata armaturilor, ca in figura de mai jos. Cit este cimpul electric in dielectric?

In absenta dielectricului, cimpul intre armaturi avea intensitatea σ₀/ε₀, unde σ₀ este densitatea de sarcina libera de pe armaturi. Dupa introducerea dielectricului, pe armaturi apar doua regiuni cu valori diferite ale densitatii de sarcina libera: σ₁ in dreptul dielectricului si σ₂ in cealalta jumatate de armatura. Datorita conservarii sarcinii de pe fiecare armatura, Sσ₀=S(σ₁+σ₂)/2, adica σ₁+σ₂=2σ₀ (am notat cu S suprafata armaturii). Cimpul in dielectric se scrie σ₁/(ε₀ε_r) iar cimpul in aer σ₂/ε₀. Pentru ca fiecare din armaturi este o suprafata echipotentiala iar tensiunea intre armaturi este produsul intre cimp si distanta intre armaturi, cimpul in dielectric trebuie sa fie egal cu cel din aer. Egalind expresiile pentru cimpuri, rezulta σ₁=ε_rσ₂. Din cele doua ecuatii pe care le-am dedus pentru densitatile de sarcina, obtinem σ₂=2σ₀/(1+ε_r). Introducind aceasta valoare in expresia cimpului, ajungem la


Expresia reprezinta intensitatea cimpului (atit in dielectric cit si in portiunea cu aer), dupa introducerea dielectricului. Se vede ca acest cimp nu este de ε_r mai mic decit cimpul initial din condensator.

Sa ne ocupam, acum, de fortele care actioneaza asupra dielectricului introdus intr-un cimp electric. In cazul condensatorului plan (singurul pe care l-am abordat cantitataiv), cimpul total din dielectric este uniform. Intr-un cimp electric uniform, fortele asupra sarcinilor unui dipol (figura alaturata) sunt egale si opuse. Forta totala asupra dipolului este, deci, nula. In consecinta, forta electrica neta asupra dielectricului ce umple spatiul dintre armaturile unui condensator plan este zero.

In cazul general, insa, cimpul in dielectric nu este uniform (figura de mai jos). In aceasta situatie, apare o forta neta asupra dipolului, deoarece asupra sarcinii situata in cimp mai intens actioneaza o forta mai mare (in modul) decit forta asupra celeilalte sarcini. Cum dipolul este aliniat cu cimpul, forta neta este intodeauna inspre regiunea de cimp mai intens. Marimea ei este proportionala cu momentul dipolar dar si cu rata de variatie a intensitatii cimpului, la modificarea pozitiei pe directia cimpului.


Acum putem, in sfirsit, explica atractia corpurilor neutre, alcatuite din materiale dielectrice, de catre corpurile electrizate (indiferent daca sunt incarcate pozitiv sau negativ). Esentiala este neuniformitatea cimpului creat de corpul incarcat in zona dielectricului. Dielectricul este intodeauna atras dintr-o zona de cimp slab spre o zona de cimp intens (figura de mai jos). Simpla existenta a acestui cimp produce polarizarea (care este proportionala cu cimpul) dar forta neta este data de produsul dintre polarizare si rata de variatie cu pozitia a cimpului respectiv. Pentru o sarcina ce poate fi aproximata ca una punctuala, aceasta forta scade ca 1/r⁵, mult mai rapid decit forta intre doua sarcini punctuale. Aceasta explica de ce atractia era observata ca aparind foarte brusc cind apropiam corpurile.