Electricitatea statica

Distributia sarcinilor pe conductori

Pina acum am considerat sarcinile ca fiind punctiforme si separate intre ele prin spatiul vid. Legea lui Coulomb se refera exact la acest caz. Pentru situatia in care numarul sarcinilor punctuale este extrem de mare si noi privim lucrurile la o scara mult mai mare decit distanta dintre ele, am construit un model continuu, "dizolvind" sarcinile punctuale astfel incit sa ocupe, fara interstitii, o anumita regiune din spatiu. Aceeasi strategie o putem adopta cind ne intereseaza electronii liberi dintr-un conductor: privim lucrurile la o scara mult mai mare decit distantele interatomice. La aceasta scara si sarcinile pozitive ale ionilor (atomii de la care au plecat electronii deveniti liberi) apar dizolvate intr-o distributie continua. Sarcina neta ce poate exista intr-o regiune rezulta, de fapt, dintr-un dezechilbru infim intre aceste doua distributii continue. Cind spunem ca aceasta sarcina neta are densitatea r intr-un anumit punct, vorbim, de fapt, despre media efectuata pe o regiune cu dimensiunea de sute de distante interatomice in jurul acelui punct, regiune ce contine milioane de atomi. Deoarece distantele atomice sunt extrem de mici (de ordinul a 10^-10 m), aceasta descriere mediata este inca suficient de fina. Densitatea de sarcina despre care vom vorbi in continuare este una "macroscopica" si nu densitatea "microscopica" de la nivelul atomului.

La nivel atomic, cimpul electric are variatii mari pe distante extrem de scurte. In plus, el variaza rapid, datorita agitatiei termice. Pentru imensa majoritate a aplicatiilor, aceste variatii in spatiu si timp sunt neinteresante, ceea ce conteaza este o medie a cimpului electric, efectuata pe domenii spatiale ce cuprind milioane de atomi. Datorita caracterului aleator al fluctuatiilor si numarului mare de atomi peste care se mediaza, fluctuatiile se compenseaza reciproc si cimpul macroscopic definit prin aceasta mediere poate fi privit, cu foarte buna aproximatie, ca unul electrostatic. De cite ori vom vorbi, in continuare, despre cimpul electric si densitatea de sarcina din interiorul substantei, ne vom referi la cimpul macroscopic si densitatea macroscopica de sarcina, fara sa mai facem precizari suplimentare.

Cu aceste clarificari, suntem pregatiti sa analizam distributia sarcinii electrice in conductoare. In figura de mai jos am reprezentat un corp conductor neutru plasat intr-un cimp electric produs de o distributie de sarcini din afara corpului. Acest cimp (ai carui vectori au fost desenati cu negru) este numit adesea "extern".

Figura reprezinta situatia la un interval de timp extraordinar de scurt dupa ce sarcinile din conductor simt influenta cimpului extern. Purtatorii de sarcina liberi din conductor se vor deplasa: cei pozitivi in sensul cimpului iar cei negativi in sens opus. Ca urmare, distributia sarcinii nete in conductor se va modifica. Separarea sarcinilor produce pe conductor zone de sarcina neta, pozitive si negative. Desi ramine neutru, conductorul devine polarizat. Aceasta noua distributie de sarcina de pe conductor produce si ea cimp electric, vectorii sai fiind desenati cu verde. Se observa ca, in interiorul conductorului, acest cimp este opus celui creat de sarcinile externe. Conform principiului superpozitiei, cimpul total este suma celor doua componente: cimpul produs de sarcinile externe (presupus constant) si cimpul produs de distributia de sarcina din corpul conductor. Astfel, polarizarea conductorului micsoreaza cimpul total din interior. Dar lucrurile nu se opresc aici. Purtatorii de sarcina mobili simt inca actiunea unui cimp electric, chiar daca el este acum mai mic. In consecinta, vor continua sa se miste, marind separarea de sarcini si, corespunzator, cimpul creat de aceasta. Procesul continua, astfel, cimpul total in interior devenind din ce in ce mai mic, pina cind ajunge la zero. Din acest motiv, spunem ca polarizarea conductoarelor este "totala". Concomitent, si fortele asupra sarcinilor din interiorul conductorului scad, pina cind ajung la zero. In aceasta stare, purtatorii de sarcina mobili inceteaza sa aiba o miscare de ansamblu, raminind doar cu miscarea lor complet dezordonata, datorata agitatiei termice. Densitatea de sarcina macroscopica inceteaza sa se modifice in timp, raminind constanta. Se ajunge astfel la o situatie de echilibru, numit echilibru electrostatic.

Polarizare "totala" suna foarte dramatic. Se modifica, oare, atit de mult distributia de sarcina pe conductor? In figura de mai jos, desenul a), doua plane infinite, incarcate cu densitatile de sarcina +s si -s, produc intre ele un cimp uniform. In aceasta regiune este plasat, apoi, un bloc metalic, considerat si el foarte intins pe celelalte doua dimensiuni (desenul b).

Pentru a anula cimpul in interiorul blocului metalic, pe suprafetele lui de linga planele incarcate apar distributii superficiale de sarcina cu densitatea egala, in valoare absoluta, cu cea de pe plane. Am putea crede, in graba, ca o parte din electronii liberi de pe suprafata de linga planul negativ o iau la sanatoasa prin metal si se inghesuie pe suprafata din capatul opus. Nu am uitat insa ceva? De fapt, toate sarcinile electrice din blocul de metal simt, la inceput, cimpul extern. Si toti electronii liberi de acolo, in afara miscarii lor dezordonate, se deplaseaza putin spre planul pozitiv (desenul c). Concentratia electronilor liberi in metale e de ordinul a 10²⁸ electroni/m³, echivalenta cu o densitate de sarcina libera, r, de ordinul a 10⁹ C/m³. O deplasare cu x acestui ocean de electroni produce pe suprafete o densitate superficiala de sarcina r^.x. Pentru o valoare uzuala a cimpului extern de 10⁵ V/m (1000 volti pe cm), densitatea de sarcina trebuie sa fie de aproximativ 10^-6 C/m² si rezulta o deplasare a oceanului de electroni de ordinul a 10^-15 m, de o suta de mii de ori mai mica decit dimensiunea atomului ! Este vorba despre o deplasare a pozitiei medii a fiecarui electron, acesta continuind sa se miste dezordonat prin metal. In metale, datorita concentratiei enorme de electroni liberi, reajustari extraordinar de fine ale oceanului de electroni realizeaza anularea totala a cimpului in interior, adica polarizarea completa. Desi sunt inimaginabil de mici, aceste ajustari creaza pe suprafata metalului densitati superficiale de sarcina ce produc efecte observabile cu usurinta.

Cit timp trece pina cind se ajunge la echilibru electrostatic? In conductorii metalici, purtatorii de sarcina liberi sunt electronii, care au o masa foarte mica. Astfel, timpul necesar atingerii echilibrului este extrem de scurt; pentru corpuri metalice cu dimensiuni de pina la citiva metri, echilibrul electrostatic este atins in mai putin de 10^-8 s. Acesta interval are ordinul de marime al timpului necesar luminii sa parcurga o distanta egala cu dimensiunea corpului respectiv. In cazul conductorilor lichizi, care sunt solutii ionice (de exemplu, sare de bucatarie dizolvata in apa), purtatorii de sarcina mobili sunt ionii, cu mase de mii de ori mai mari decit masa unui electron. Pentru acesti conductori, timpul necesar ajungerii la echilibru electrostatic este mult mai mare decit acela pentru metale. Rezultatul este, insa, acelasi: cimpul este anulat complet in interiorul conductorului. Polarizarea conductoarelor este totala.

Pentru simplificare, in experimentul precedent am considerat cimpul extern uniform si produs de sarcini fixe. In plus, corpul conductor era neutru. Conceptul de echilibru electrostatic poate fi generalizat, insa, pentru cazul mai multor conductoare ce interactioneaza electric, care pot sa nu fie neutre. In figura de mai jos, conductorul din stinga are o sarcina neta pozitiva iar cel din dreapta este neutru.

Cind corpurile sunt apropiate, sarcinile libere de pe fiecare din ele isi vor schimba distributiile spatiale pina cind cimpul electric va ajunge la zero in interiorul ambelor corpuri. Sistemul de corpuri conductoare ajunge, astfel, la echilibru electrostatic.

La echilibru electrostatic, cimpul electric este nul pentru orice punct din interiorul conductorului. Folosind legea lui Gauss, putem obtine informatii despre distributia de sarcini. Sa luam o suprafata gaussiana arbitrara situata in intregime in interior, ca in figura alaturata. Vectorul cimp electric este constant de la punct la punct, fiind egal cu zero. Fluxul electric prin suprafata este, deci, nul. Legea Gauss spune ca acest flux este egal cu sarcina electrica din interiorul suprafetei inchise impartita la o constanta. Astfel, oricum am alege suprafata inchisa, sarcina din interiorul ei este nula. Aceasta se poate intimpla doar daca densitatea de sarcina este zero oriunde in interior. Am ajuns la concluzia ca la echilibru electrostatic densitatea de sarcina este nula in orice punct din interior. Observatie Fluxul total prin suprafata gaussiana este nul si daca intensitatea cimpului nu este zero, dar vectorul cimp electric este constant de la punct la punct. Astfel, intr-o regiune in care cimpul electric este uniform, densitatea de sarcina neta este, obligatoriu, nula. Acest rezultat contra-intuitiv, merita retinut.

Chiar daca un conductor are o sarcina neta Q, la echilibru electrostatic nu exista sarcina neta in interiorul sau. Unde este, atunci, sarcina Q? A mai ramas doar un loc de refugiu: pe suprafata, intr-un strat de grosime nula. Aici sarcina nu poate parasi conductorul pentru ca exista forte puternice (care nu sunt cuprinse in modelul nostru electrostatic) ce impiedica acest lucru. Daca aici ar exista o componenta tangentiala a cimpului electric, sarcina s-ar misca pe suprafata pina ce, in noua distributie, acea componenta ar fi nula in orice punct al suprafetei. La echilibru electrostatic, cimpul electric pe suprafata conductorului nu are componenta tangentiala, fiind pe directia normalei in acel punct, asa cum se vede in desenul din stinga al figurii de mai jos.

Sa luam o suprafata gaussiana de forma unui cilindru drept, cu generatoarea perpendiculara pe suprafata conductorului, ca in figura anterioara. Baza si inaltimea sunt suficient de mici, astfel incit cimpul din exteriorul conductorului sa poate fi considerat constant. Cimpul e nul in interiorul conductorului iar in exterior este paralel cu generatoarea cilindrului. Singura parte a suprafetei gaussiene ce contribuie la flux este baza din exteriorul conductorului, desenata cu albastru inchis. Aplicind legea Gauss, asa cum se vede in figura, rezulta ca
Utilizind versorul (vectorul de modul unitate) normalei la suprafata, vectorul cimp electric este dat de ecuatia

(Ec. 17.1)

Cu relatia precedenta putem sa calculam pina la ce valori ajunge densitatea superficiala de sarcina pe un conductor, astfel incit ca aerul sa fie strapuns si sa apara o scinteie electrica. Cum cimpul de strapungere, in aer uscat, e de aproximativ 3^.10⁶ V/m, iar e₀ este aproape 9^.10^-12 F/m, rezulta o densitate de sarcina de aproape 30^.10^-6 Q/m², adica 30 micro coulombi pe metru patrat. Pe de alta parte, putem calcula cita sarcina au, pe unitatea de suprafata, electronii liberi distribuiti pe stratul de la suprafata metalului, cu grosimea cit o distanta inter-atomica. Rezulta o densitate de 0,5 C/m², de aproape 10 mii de ori mai mare decit cea de sarcina neta. Cu alte cuvinte, pe suprafata metalului, dintre electronii liberi lipsesc (sau sunt in exces) doar unu la zece mii.

Observatie
La suprafata conductorului, cimpul are o discontinuitate, este nul in interior si sare brusc la o valoare diferita de zero in exterior. Desi este legat matematic doar de densitatea de sarcina de pe suprafata din locul respectiv, cimpul este produs de sarcina de pe intreaga suprafata a conductorului plus totalitatea sarcinilor externe conductorului. Relatia precedenta nu trebuie citita drept relatie cauza-efect. Daca aplicam legea Gauss (pe aceeasi suprafata gaussiana) numai cimpului creat de sarcinile de pe portiunea de suprafata considerataCimpul nu este efectul exclusiv al densitatii superficiale de sarcina. Relatia precedenta este o legatura obligatorie intre valorile la care ajung doua marimi fizice cind se stabileste un echilibru electrostatic (in urma unui proces dinamic).

Cunoasterea modului in care evolueaza cimpul electric in interiorul si in imediata apropiere a unui conductor ne permite, acum, sa obtinem informatii despre harta potentialului electric. Cimpul electric nu are nicaieri pe suprafata corpului o componenta tangentiala diferita de zero, fiind perpendicular pe suprafata in orice punct. Acest lucru se intimpla doar daca suprafata este echipotentiala. Pe de alta parte, in interiorul conductorului cimpul este nul, putem deplasa sarcina de test prin conductor, de pe un punct al suprafetei pe altul, fara sa efectuam lucru mecanic. Concluzia este ca intregul corp conductor (incluiv suprafata) se afla la un potential comun, pe care il vom numi, simplu, potentialul corpului. Astfel, un conductor adus intr-un cimp electric modifica acest cimp chiar daca acel conductor este neutru iar sarcinile externe sunt fixe.

In figura de mai sus, intr-un cimp electric extern uniform (desenul din stinga), produs de sarcini fixe, este plasat un conductor neutru. Conductorul "forteaza" cimpul sa aiba o suprafata echipotentiala pe suprafata sa (desenul din dreapta). In imediata apropiere a conductorului, suprafetele echipotentiale urmaresc inca forma suprafetei sale, trecind treptat, la distanta mare, in forma lor initiala. Fiind, perpendicular pe suprafetele echipotentiale, si vectorul cimp electric este afectat: puternic in imediata apropiere si din ce in ce mai putin la distanta mare de conductor. In interiorul conductorului cimpul este anulat, acea regiune avind in orice punct potentialul de pe suprafata conductorului.
In figura urmatoare este reprezentat cimpul produs de doi electrozi metalici legati la potentialele de -20 V si, respectiv, 30 V. Se observa cum suprafetele echipotentiale urmaresc formele electrozilor, trecind gradual de la o forma la cealalta. Vectorul cimp electric este orientat, in orice punct, perpendicular pe suprafata echipotentiala din acel punct.

Comportarea suprafetelor echipotentiale in apropierea corpurilor conductoare ne permite sa intelegem o proprietate importanta a conductoarelor la echilibru electrostatic. Corpul din stinga figurii urmatoare are un virf ascutit si este plasat in apropierea unui conductor plan.

Suprafetele echipotentiale vor fi, astfel, aproape plane linga corpul din dreapta dar vor trebui sa-si schimbe forma pe masura ce ne apropiem de corpul din stinga. Prezenta virfului va face ca in apropierea lui suprafetele echipotentiale sa se apropie mai mult una de alta, inghesuindu-se pentru a urmari forma sa ascutita. Dar noi stim ca acolo unde distanta intre doua suprafete echipotentiale se micsoreaza, cimpul este mai puternic, mergind aproape ca inversul distantei. Rezulta, deci, ca, in regiunea virfurilor ascutite ale unui conductor, cimpul electric este mai intens decit in celelalte regiuni. Pentru a realiza acest lucru, densitatea superficiala de sarcina este, corespunzator, mai mare acolo. Am juns la aceasta concluzie in situatia particulara in care, in apropiere, este adus un conductor plan. Ea este valabila insa si cind conductorul nostru este departe de alte corpuri.

Aceasta comportare a cimpului electric in apropierea virfurilor are o importanta deosebita in aplicatii. Daca dorim sa impiedicam descarcarea unui conductor prin ionizarea aerului care il inconjoara, trebuie ca acel conductor sa nu aiba virfuri ascutite. Forma conductorului trebuie sa aiba raze mari de curbura, sfera fiind optima din acest punct de vedere. Cind dorim, din contra, ca sarcina de pe conductor sa treaca cu usurinta pe corpuri din apropiere, folosim perii metalice, care au o multime de virfuri ascutite.

Sa consideram acum un sistem format din mai multe corpuri conductoare, incarcate electric. Cimpul electric este diferit de zero doar in exteriorul acestor corpuri. Liniile de cimp pornesc, perpendicular, din portiunile de suprafata unde densitatea de sarcina este pozitiva si sfirsesc perpendicular pe portiunile de suprafata unde densitatea de sarcina este negativa. Alegem o linie de cimp ce porneste de pe un conductor A si se termina pe suprafata unui conductor B si, in jurul ei, delimitam un tub de linii de cimp, ca in figura de mai jos.

Construim o suprafata gaussiana prelungind tubul la ambele capete, astfel incit sa ajunga in interiorul conductoarelor. Se vede imediat ca fluxul prin aceasta suprafata gaussiana este zero deoarece cimpul este nul in interiorul conductoarelor si paralel cu "coaja" tubului in exterior. Conform legii lui Gauss, si sarcina din interiorul suprafetei gaussiene trebuie sa fie nula. Aceasta inseamna ca tubul de flux delimiteaza pe suprafetele celor doua corpuri conductoare portiuni cu sarcini egale in modul (si opuse ca semn).

Pina acum am considerat, tacit, numai conductoare masive, fara goluri in interiorul lor. Dar daca un conductor are o cavitate in interior, ca in figura alaturata, cavitate in care nu se gaseste nimic ? Cit este cimpul in cavitate? Exista sarcina distribuita pe suprafata cavitatii? Principiul superpozitiei ne ajuta sa gasim raspunsurile. Pornim de la situatia in care conductorul este masiv si delimitam, imaginar, volumul unei cavitati interne. Cimpul electric in intreg spatiul poate fi gindit ca suma a doua contributii: cimpul produs de sarcina neta din volumul delimitat de noi si cimpul produs de restul lumii. Dar, peste tot in interiorul conductorului, densitatea de sarcina este nula. Volumul delimitat de noi nu contribuie, in nici un fel, la cimpul electric. Asadar, substanta din acest volum poate fi indepartata fara ca sa se modifice cimpul in vre-un punct din spatiu. Ajungem, astfel, la un conductor cu o cavitate iar in cavitate cimpul este exact cit era si inainte de indepartarea substantei de acolo, adica zero. In procesul de sectionare si indepartare nu am modificat distributiile locale de sarcina, ne asteptam ca nici pe suprafata cavitatii sa nu exste sarcini electrice.

Daca rationamentul de mai sus nu v-a convins, puteti judeca altfel. Stiti ca la echilibru electrostatic intregul conductor, inclusiv suprafetele sale (cea externa si eventualele suprafete ale cavitatilor interne), se afla la aceeasi potential (figura de mai jos).

Cavitatea este colorata in albastru. Suprafata ce delimiteaza cavitatea este, obligatoriu o suprafata echipotentiala, cu potentialul notat cu V₁, iar cimpul in cavitate, daca exista, trebuie sa fie perpendicular pe suprafata cavitatii. Cum suprafetele echipotentiale nu se pot intersecta (un punct nu poate avea doua potentiale diferite) urmatoarele suprafete echipotentiale sunt incluse complet in cavitate. Sa alegem una foarte apropiata de suprafata cavitatii, cu potentialul V₂. Daca V₂<V₁, cimpul este indreptat peste tot inspre interior, ca in desen. Daca inegalitatea are sens invers, cimpul este orientat peste tot inspre corpul conductor. Nu exista posibilitatea ca aceasta orientare sa se schimbe de la punct la punct. Dar noi stim sa legam cimpul in vecinatatea suprafetei de densitatea superficiala de sarcina. Concluzia este ca aceasta densitate este ori peste tot pozitiva, ori peste tot negativa. Aceasta inseamna ca putem avea cimp electric in cavitate doar daca sarcina totala distribuita pe suprafata cavitatii ar fi diferita de zero. O asemenea situatie este, insa, imposibila. Alegeti o suprafata gaussiana oarecare care sa includa cavitatea, suprafata desenata cu albastru. Cum cimpul in conductor este nul, si fluxul prin suprafata gaussiana este nul. Sarcina din interior nu poate fi, deci, diferita de zero. Astfel, sarcina totala pe suprafata cavitatii trebuie sa fie zero. Cum densitatea de sarcina isi pastreaza semnul oriunde pe aceasta suprafata, rezulta ca in orice punct de pe suprafata cavitatii, densitatea de sarcina este zero. De aceea, de pe suprafata cavitatii nu porneste nici o linie de cimp. Cum nici in interiorul cavitatii nu exista sarcini, putem afirma ca

Ca alte cuvinte, oricite sarcini ar fi in exteriorul conductorului sau distribuite pe suprafata sa, efectul acestora nu poate fi sesizat in interiorul unei cavitati din conductor. Regiunea cavitatii este "ecranata" fata de influenta acestor sarcini. Grosimea conductorului este neimportanta, ajunge sa inconjuram regiunea pe care vrem sa o ecranam cu o foita subtire de metal. O ecranare imperfecta, dar suficient de eficienta, se poate obtine inlocuind tabla cu o plasa de fire de metal, cu ochiurile suficient de mici. O asememea incinta este numita "cusca Faraday" si este utilizata pentru protejarea aparatelor de masura extrem de sensibile la cimpuri electrice impotriva perturbatiilor produse de sarcini electrice inconjuratoare.

Experimentul urmator va arata ca un electroscop nu mai simte influenta unei baghete electrizate daca placa sa este introdusa intr-o cusca Faraday.


In filmul de mai jos puteti vedea, la inceput, efectul spectaculos asupra parului unor persoane produs de incarcarea lor cu sarcina electrica. Apoi, subiectii sunt introdusi intr-o cusca Faraday si cusca este incarcata electric la potentiale extrem de ridicate. Mai simte parul lor forte electrice?

Am vazut ca, daca in cavitatea din interiorul unui conductor nu exista sarcini electrice, pe suprafata acestei cavitati densitatea de sarcina este nula. Situatia se schimba daca in interiorul cavitatii exista sarcina q₁.

Aplicind legea lui Gauss pentru suprafata gaussiana, pentru ca sarcina totala sa fie nula este necesar ca pe suprafata cavitatii sa apara o sarcina totala -q₁. Cum corpul conductor (mai putin suprafata) trebuie sa ramina neutru, pe suprafata sa exterioara apare o sarcina suplimentara egala exact cu cea din interiorul cavitatii. Acest lucru se intimpla oriunde ar fi sarcinile in cavitate si fara ca ele sa fi migrat pe conductor.

Dupa cum am vazut in experimente, este practic imposibil sa transferam pe un conductor sarcina electrica acumulata pe izolatoare foarte bune. Ar parea, astfel, ca masurarea acestei sarcini este extrem de dificila. Efectul prezentat in paragraful precedent ofera o solutie simpla acestei probleme experimentale: corpul incarcat cu sarcina q (figura de mai jos, desenul a) este plasat in interiorul (gol) al unui container metalic neutru (desenul b). Pe suprafata interioara a containerului apare sarcina -q,pentru a anula cimpul in materialul conductor al containerului. Deoarece sarcina de pe container se conserva, pe suprafata sa exterioara apare sarcina q, egala cu cea a corpului introdus.

Aparatul legat la container masoara sarcina aparuta pe fata lui externa, care, este egala cu q. Daca corpul incarcat este un bun conductor, prin atingerea sa de interiorul containerului (desenul c), sarcina sa trece pe container si neutralizeaza sarcina de pe suprafata interioara a containerului. Astfel, corpul poate fi scos din container (desenul d), iar containerul ramine cu o sarcina neta egala cu q, aceea pe care o avea corpul de masurat. Atita timp cit corpul nu este scos din container, nu conteaza daca este in bun contact electric cu containerul, daca o parte sau toata sarcina sa este transferata containerului prin conductie, intodeauna aparatul de masura va simti sarcina q, cit a fost sarcina de pe corp.

Primul care a efectuat un asemenea experiment a fost fizicianul englez Michael Faraday. Mai sus aveti o ilustratie de epoca ce infatiseaza experimentul si va explica si de ce dispozitivul este cunoscut, in engleza, sub numele "Faraday's ice pail" (ice pail inseamna galeata, vas pentru tinut gheata). In figura alaturata este prezentata o varianta moderna a dispozitivului, realizata pentru experimente demonstrative. Cilindrul Faraday este construit din plasa metalica si este inconjurat de un alt cilindru, pentru ecranare. Cilindrul interior, care "colecteaza" sarcina, este montat pe suporti izolatori.